Aritmetica: la branca più antica della matematica
L’aritmetica è la più antica branca della matematica.
Studia le proprietà elementari delle operazioni aritmetiche sui numeri interi.
L’aritmetica si riferirsce anche alla teoria dei numeri, che studia le proprietà dei numeri interi collegati ai numeri primi, la divisibilità e le soluzioni intere delle equazioni, argomenti in rapida crescita nella matematica moderna.
In questo contesto si parla del “teorema fondamentale dell’aritmetica”.
Ogni giorno tutti noi utilizziamo l’aritmetica per operazioni semplici, come contare oggetti, valutare costi, stabilire distanze.
Sorprendentemente viene utilizzata anche per scopi avanzati, ad esempio nella crittografia.
I numeri naturali
In matematica i numeri naturali sono utilizzati per contare e ordinare, e sono i più intuitivi che esistano.
Sebbene sia intuitivo, il numero naturale non è un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi.
La definizione è utile perché permette di estendere il concetto di numero a oggetto più generale, come l’insieme di tutti i numeri (illustrato nel diagramma di Venn).
L’operazione di distinguere tra “uno”, “molti” e “nessuno” risale all’uomo primitivo.
L’incompletezza delle teorie matematiche
Gödel ha studiato l’incompletezza delle teorie matematiche.
Ha enunciato 2 teoremi, secondo i quali ogni sistema assiomatico consistente in grado di descrivere l’aritmetica dei numeri interi è dotato di proposizioni che non possono essere dimostrate né confutate sulla base degli assiomi di partenza.
Per cui se un sistema formale è logicamente coerente, la sua non contraddittorietà non può essere dimostrata stando all’interno del sistema logico stesso.
I due teoremi sono una conferma del platonismo, corrente filosofica che affermava l’esistenza di formule vere non dimostrabili, e dunque l’irriducibilità della nozione di verità a quella di dimostrabilità. La convinzione di Gödel era che la verità, essendo qualcosa di oggettivo, non può essere posta a conclusione di alcuna sequenza dimostrativa, ma solo all’origine.
“Nonostante le apparenze, non vi è nulla di circolare in un tale enunciato, dal momento che esso all’inizio asserisce l’indimostrabilità di una formula ben determinata, e solo in seguito, quasi per caso, risulta che questa formula è proprio quella che esprime questo stesso enunciato.”
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