Il calcolo infinitesimale
Il calcolo infinitesimale è la branca fondante dell’analisi matematica che studia il “comportamento locale” di una funzione tramite le nozioni di continuità e di limite.
E’ impiegato in matematica, fisica e nella scienza in generale: tramite la nozione di limite definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione (o di una serie), continuità, derivata e integrale.
Il calcolo infinitesimale costituisce un bagaglio di conoscenza matematica importante, e sul piano storico il suo sviluppo è considerato uno dei processi fondamentali per la storia del pensiero scientifico, anche nella storia della filosofia occidentale.
La derivata
In matematica, la derivata è la misura di quanto cresce una funzione al variare di x (variabile indipendente).
E’ una grandezza puntuale.
Derivare una funzione a una variabile nel campo reale R significa stabilire la pendenza della tangente della funzione in quel punto.
Quest’ultima, rappresentata graficamente, è la migliore approssimazione lineare dell’andamento della funzione in quel punto.
Se la funzione è derivabile, ovvero se esiste la derivata della funzione in ogni punto del suo dominio, essa può essere definita come una funzione che associa a ogni punto proprio la derivata in quel punto.
Il concetto di derivata, insieme a quello di integrale, è uno dei cardini dell’analisi matematica e del calcolo infinitesimale.
L’integrale
L’integrale è un operatore matematico.
Nelle funzioni a una variabile associa ad essa l’area sottesa al grafico, all’interno dell’intervallo [a,b] del dominio.
Il concetto era già noto ad Archimede, se ne serviva per il calcolo dell’area del cerchio.
Ben più tardi nel XVII secolo, il “teorema fondamentale del calcolo integrale” ha dimostrato la relazione tra il concetto di integrale e derivata.
E’ diviso in 2 parti:
I teorema, garantisce l’esistenza della primitiva per funzioni continue
II teorema, calcola l’integrale definito di una funzione tramite una delle sue primitive
Nel XVII secolo i matematici Fermat e Mercator studiarono e individuarono altri metodi per calcolare l’area sottesa al grafico.
Nel XVIII secolo Newton, Leibniz e Bernoulli dimostrarono il teorema fondamentale del calcolo integrale riconducendolo al problema della ricerca della primitiva di una funzione.
La prima definizione rigorosa di integrale di funzione su un intervallo è l’integrale di Riemann, formulato dal matematico Bernhard Riemann a metà del XIX secolo.
I matematici hanno sempre studiano gli integrali, le proprietà, i metodi di approssimazione e di calcolo.
Gli integrali potrebbero essere visti come un modo per provare a capire e conoscere la natura attraverso i numeri.
L’ottimizzazione (o programmazione matematica)
In matematica applicata, l’ottimizzazione (o programmazione matematica) studia la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione.
Dato il vasto spazio delle possibili soluzioni, il problema di ottimizzazione necessita la realizzazione di algoritmi efficienti per poter elencare tutte quelle possibili e scegliere la migliore.
L’ottimizzazione si applica a problemi di scelta con un singolo decisore, un unico criterio di scelta e ambiente certo.
L’ambito di analisi è quello del modello matematico di funzioni in più variabili, in cui i punti di ottimo vengono ricercati fissando vincoli espressi secondo equazioni o disequazioni.
Esistono due categorie di ottimizzazione:
DINAMICA, i vincoli e le variabili che esprimono il modello del problema possono variare nel tempo
STATICA, i vincoli e le variabili sono costanti, e possono assumere valori continui o discreti
Per evitare di dover analizzare tutte le possibili soluzioni e far cadere i concetti di efficacia ed efficienza della programmazione matematica, si ordina il dominio secondo una struttura che ordina le soluzioni in base ad alcune caratteristiche, scartando a priori le soluzioni che non potranno essere scelte come migliori.
Le reti neurali biologiche
Le reti neurali biologiche (circuiti di neuroni), hanno ispirato le reti neurali artificiali, utilizzate nel campo dell’apprendimento automatico.
In questo ambito una rete neurale è detta “artificiale”, ed è un modello matematico composto di neuroni artificiali, che si ispira a una rete neurale.
Questi modelli matematici possono essere utilizzati sia per ottenere una comprensione delle reti neurali biologiche, ma ancor di più per risolvere problemi ingegneristici di intelligenza artificiale come quelli che si pongono in diversi ambiti tecnologici (elettronica, informatica, simulazione, …).
Una rete neurale artificiale può essere realizzata sia da programmi software che da hardware dedicato.
I modelli di rete neurale
I modelli di rete neurale possono essere usati per comprendere una funzione utilizzando solo le osservazioni sui dati.
Questo è utile nelle applicazioni in cui la complessità dei dati (o la difficoltà di elaborazione) rende la progettazione di una tale funzione impraticabile con i normali procedimenti di analisi manuale.
3 le categorie di applicazione:
funzione di regressione (previsione di serie temporali e modellazione);
funzione di classificazione (struttura e sequenza di generici riconoscimenti);
funzione di elaborazione dati (filtraggio, clustering e separazione di segnali).
Molte le aree di applicazione:
sistemi di controllo (controllo di veicoli, controllo di processi);
simulatori di giochi e processi decisionali (backgammon, scacchi);
riconoscimento di pattern (sistemi radar, identificazione di volti, riconoscimento di oggetti);
riconoscimento di sequenze (riconoscimento di gesti, riconoscimento vocale, OCR);
diagnosi medica;
applicazioni finanziarie;
data mining;
filtri spam per e-mail.
In pratica un nuovo mondo!
Il piano complesso di Argand-Gauss
In analisi complessa, il piano complesso (di Argand-Gauss) è un metodo per rappresentare lo spazio dei numeri complessi.
Concretamente è un piano cartesiano “modificato”, con la parte reale rappresentata sull’asse x e la parte immaginaria rappresentata sull’asse y.
L’asse x è reale e l’asse y è asse immaginario.
Il piano complesso consente un’illustrazione geometrica dei numeri complessi:
-> l’addizione equivale a sommare vettori.
-> la moltiplicazione può essere geometricamente espressa usando le coordinate polari (il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori, l’argomento del prodotto è la somma degli angoli dei fattori).
I diagrammi di Argand sono usati per rappresentare graficamente:
-> la posizione dei poli
-> gli zeri di una funzione nel piano complesso.
Un numero complesso può essere separato in parte reale e immaginaria, in questo modo:
z=x+iy
in cui
-> x e y sono numeri reali
-> i è l’unità immaginaria
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta reale euclidea:
-> il numero complesso z corrisponde al punto (x,y) del piano cartesiano.
-> l’ascissa si ricava da x=Re(z) (parte reale, asse x) e da y = Im(z) (parte immaginaria, asse y).
Elenco delle fonti nella pagina Progetto